Raspberry PiやBanana PiのDebian系OSにはresolvconfが導入されています。
そのため、名前解決(/etc/resolv.conf)はresolvconfで管理されているので、直接resolv.confを編集しても上書きされてしまいます。
少し悩みました( ・ὢ・ )
なので、resolvconfコマンド経由で設定してあげる必要があります。
例)GoogleのPublicDNSサーバを指定
$ sudo sh -c 'echo "nameserver 8.8.8.8" | resolvconf -a eth0'