Raspberry PiやBanana PiのDebian系OSにはresolvconfが導入されています。
そのため、名前解決（/etc/resolv.conf）はresolvconfで管理されているので、直接resolv.confを編集しても上書きされてしまいます。
少し悩みました( ･ὢ･ )

なので、resolvconfコマンド経由で設定してあげる必要があります。
例）GoogleのPublicDNSサーバを指定
$ sudo sh -c 'echo "nameserver 8.8.8.8" | resolvconf -a eth0'